Proyectos

Ecuaciones de movimiento y método numérico

Fuerzas

Sobre el balón actúan su peso, el arrastre del aire (contra la velocidad) y, si gira hacia atrás, la sustentación de Magnus (perpendicular a la velocidad, hacia arriba):

El coeficiente de arrastre cae cerca de 11 m/s (unos 40 km/h): la crisis de arrastre. El de sustentación crece con el giro, con tope:

Ecuaciones de movimiento en el aire

En el plano vertical del tiro, con x hacia la portería y z hacia arriba, y $v = \sqrt{v_x^2 + v_z^2}$, $k = \tfrac12\rho\, C_D(v) A$, $k_L = \tfrac12\rho\, C_L A$:

El balón sale de $x = 0,\ z = r$ con $v_x = v_0\cos\theta,\ v_z = v_0\sin\theta$.

En el pasto: botes y rodada

Cuando el balón toca el pasto ($z \le r,\ v_z < 0$) y baja a más de 0.6 m/s, bota; el giro se pierde en el primer contacto:

Si baja más despacio, rueda con $z = r$, frenado por el aire y por el pasto, hasta que $|v_x| < 0.05$ m/s:

Travesaño, gol y portero

El travesaño es un tubo de radio $r_t$ con centro en $(D,\ h + r_t)$: su borde inferior está a la altura h, como lo mide el reglamento. Si el centro del balón queda a menos de $r + r_t$ y se acerca a él, rebota en la dirección normal $\hat n$:

Es gol si cruza la línea $x = D$ a una altura $z_c \le h - r$, en el aire o botando; pasa por encima si $z_c \ge h + 2r_t + r$. El portero está en

y lo agarra si, entre un paso y el siguiente, el balón y él se cruzan (cambia el signo de $x - x_p$) con $z \le h_p$, en el aire o en el pasto. La jugada se simula en el plano que pasa por el centro de la portería, donde está él; un tiro con dirección φ llega a la línea en y = D·tan φ del centro, y el portero solo alcanza $|y| \le s_p$ lanzándose.

Parámetros

Método numérico

• Integrador: Euler explícito. En cada paso la posición avanza con la velocidad de antes del paso y la velocidad con la aceleración de antes del paso: $\vec x_{n+1} = \vec x_n + \vec v_n\,\Delta t,\ \ \vec v_{n+1} = \vec v_n + \vec a(\vec v_n)\,\Delta t$.
• Paso: Δt = 2 ms hasta el primer contacto con el pasto (el mismo que el estudio original), 4 ms en los botes y 20 ms rodando. Para el mapa, el vuelo hasta el primer contacto usa 4 ms y los tiros que ya no pueden llegar a la línea se cortan antes; coincide con 2 ms en el 99.8 % de las celdas (las demás están en los bordes).
• Cruce de la línea: interpolación lineal entre los dos pasos que la rodean, $z_c = z_n + \frac{D - x_n}{x_{n+1} - x_n}\,(z_{n+1} - z_n)$.
• La jugada termina cuando el balón está en la red, en las manos del portero, detenido, a más de 14 m detrás de la línea, o a los 14 s.
• Mapa: una cuadrícula de 80 a 150 km/h cada 0.5 km/h y de 5° a 55° cada 0.5°, con el tiro al centro de la portería. Como en el original, solo cuentan los tiros que cruzan la línea en su primer vuelo, sin botar: la simulación de cada celda se corta en cuanto el balón toca el pasto antes de la línea (la escena 3D sí sigue la jugada completa). Como el portero no cambia la trayectoria hasta que agarra el balón, una sola simulación dice si es gol sin él y si él lo alcanzaría antes: verde si entra, amarillo si la para yendo al centro (hacia un poste, fuera de su alcance, aún entra).
• Probabilidad de gol: en lugar de sortear 4,000 patadas al azar, como el estudio original, se hace una suma sobre la cuadrícula (una aproximación de la integral): cada celda pesa por una normal en velocidad y en ángulo, y por la fracción de direcciones con las que entra; las verdes entran si van entre los postes, las amarillas solo si además van fuera del alcance del portero. En las pruebas coincide con un Monte Carlo de 6,000 tiros simulados (contando solo los que llegan por aire) dentro de 1.5 puntos.

La mejor apuesta es la celda con mayor P entre las que no pasan de 122.4 km/h (34 m/s), lo más fuerte que se le pega a un balón largo. La regla del estudio original (gol solo directo, sin botar ni portero) se conserva en el código y sus ventanas de velocidad, halladas por bisección, se comparan en las pruebas con las del estudio.

Supuestos

El giro no decae en vuelo y se pierde al primer bote; el arrastre no depende del giro; no hay viento; el tiro va al centro de la portería y no hay efecto lateral; los postes no se modelan; la red detiene el balón donde llega (no rebota en ella); el portero agarra cualquier balón que le llegue a su alcance, por rápido que vaya; sus cifras (reacción, carrera, alcance hacia arriba y a los lados) y las de los botes son supuestos, porque de la jugada real no se publicó ninguna medida.